«Жылдам есептеудің оңай әдістері» тақырыбы Күреңбел қазақ орта мектебі 8-сынып оқушысы Жақан Дана жетекшісі Макашева Гульназ Кунтаевна

«Жылдам есептеудің оңай  әдістері» тақырыбы

       Күреңбел қазақ орта мектебі

 8-сынып оқушысы Жақан Дана 

жетекшісі Макашева Гульназ Кунтаевна

Мазмұны:

 

Рецензия ………………………………………………………..   1

Аннотация ……………………………………………………… 2-4

Кіріспе …………………………………………………………… 5-6

Негізгі бөлім  ………………………………………………….  6-25

Қорытынды ……………………………………………………. 26

Пайдалынған әдебиеттер …………………………………   27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
«Жылдам есептеудің оңай  әдістері» тақырыбына жазған ғылыми жұмысына

Рецензия

Ұсынылып отырған жобаға Күреңбел қазақ орта мектебінің 8-сынып оқушысы Жақан Дана ауызша есептеулердің алгоритмдерін көрсете отырып мектеп курсындағы тақырыптарға берілген есептеулердің теориялық мазмұнымен қатар практикалық нұсқауларын берген.

Екі, үш таңбалы сандарды тез арада көбейте салу ережелері мен бөлінгіштік белгілері, квадрат теңдеулерді шешудің ең жеңіл жолдары мен квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу тәсілдері , екі таңбалы санды куб дәрежеге шығару әдістері мысалдармен түсіндірілген.

Жобаның практикалық мәнділігі: математика пәнін тереңдетіп оқығысы келген оқушыларға арналған.

Нәтижесінде оқушының пәнге қызығушылығы артып, танымдық қызығушылығы және логикалық ой-өрісі дамиды.

Дана  бұл жобаға көп ізденген , есептеудің кейбір тәсілдерін өзі ұсынып отыр.Сараптаушылар тарапынан оң бағасын алады деп ойлаймын.

 

Математика пәнінің мұғалімі       Г.К.Макашева

 

 

 

 

Аннотация

Бүгінгідей экономикасы дамыған, электрондық есептеу мүмкіндіктері мол республикамызда менің таңдап алған тақырыбым актуалды болмауы да мүмкін яғни қазіргі ғылым мен техникада, күнделікті ісімізге компьютерді пайдаланып жүрген кезде ауызша есептеудің қажеті бар ма деген заңды сұрақ тууы да мүмкін. Бірақ осы технологияның шарықтап шегіне жеткенімен электрондық есептеу құралдары республиканың түкпір – түкпіріне жетпей жатыр. Көптеген мектептерде әлі күнге дейін компьютер саны жеткіліксіз, интерактивті тақталар мен жаңа технология кабинеттері тек үлкен қалалар мен облыс, кейбір аудан орталықтарында ғана шоғырланған, ал ауыл мектептерінің мұндай жетістіктерге әлі қолы жете қойған жоқ.

Зерттеу жұмысының өзектілігі: сондықтан мүмкіндігі жоқ мектептердің оқушылары кейбір есептеулердің тиімді жолдарын, жеңіл түрлерін меңгеріп, есеп шығару барысында ауызша есептеуді пайдалана білген жөн деп ойлаймын. Сонымен қатар, ауызша есептеу Ұлттық бірыңғай тест тапсыру барысында да уақытты үнемдеуге көп мүмкіндік береді.

Жобаның мақсаты: өзім сияқты оқушылардың математика пәніне қызығушылығын арттыру, ойлау қабілеттерін дамытуға көмектесу, ауызша есептеуді жеңіл калькуляторсыз шығарудың жолдарын көрсету.

Зерттеудің теориялық мәнділігі: Конкурстың және олимпиадалық есептерде , жоғары оқу орнына түсушілерге арналған әдебиеттерде кейбір тақырыптардың күрделірек түрлері кездеседі, сондықтан есептердің тиімді тәсілдерін пайдаланған жөн. Осы себептерден автордың таңдап алған тақырыбы актуалды екендігін көрсетеді.Автор көптеген күрделілігі әртүрлі есептеулерге мысалдар келтіріп , шығару жолдарын көрсеткен. Шешу барысында «Қысқаша көбейту формулалары» , «Сандардың бөлінгіштік белгілері » және қызықты есептеулер кеңінен қолданылған. Бұл әдістер мектеп программасында толық қамтылмаған.

Зерттеудің жаңалығы мен дербестік нәтижесі: Жалпы автор таңдаған тақырыбын толық меңгерген, өз бетімен бірнеше есептеулер құрастырған. Осының барлығы автордың көп еңбек етіп , ізденгендігін байқатады.

Ұсынып отырған еңбегі мектепте математиканы білгісі келіп, пәнге қызығушылығын арттырғысы келетін оқушылар үшін өте пайдалы, тиімді.

 

 

 

 

 

 

Аннотация

На сегодняшний день, когда бурно развивается экономика и велика возможность  электронных вычислений, моя тема может быть и неактуальна, то есть ежедневное использование компьютерной техники может вытеснить необходимость устного счета.  Но электронно-вычислительная техника не добралась до глубинки.

Актуальность темы: считаю что внедрение техники  устного счета, методов ведения вычислений может облегчить решение задач. Наряду с этим, устный счет поможет во время сдачи единого национального тестирования сэкономить время.

Цель проекта: развить интерес  сверстников к математике, помочь развитию мыслительных навыков, показать пути устных вычислений без калькулятора.

Теоретическая значимость исследования:  При решении  конкурсных и олимпиадных задач, в задачниках для поступающих в ВУЗы встречаются вычислительные задачи повышенной сложности , поэтому следует использовать полезные навыки вычислений. По этой причине эта тема является актуальной. Автор приводит разлчные примеры сложных задач и примеры их решения.  При решении используются  « Формулы сокпащенного умножения» , «Свойства делимости чисел » и интересные методы вычислений. Эти методы не полностью охвачены школьной программой.

Зерттеудің жаңалығы мен дербестік нәтижесі: В общем тема полностью раскрыта, приведены индивидуальные примеры. Все это доказывает исследования и упорный труд автора.

Эта работа безусловно полезна  для тех , у кого есть интерес к математике и желание изучать математику.

 

 

 

 

Андатпа. Бұл жоба аты айтып тұрғандай, есептеуді жеңілдетуде барынша адамзатқа жеңіл болуы үшін тез есептеудің біршама әдістері топтастырылған жұмыс саналады. Жобада көрсетілген зерттеулер сөзсіз есептеу барысын жеңілдетеді және уақытты тиімді пайдалануға, сондай-ақ әр адамның логикалық ойлау дәрежесін арттырып, математикалық білімін шыңдай түсуіне зор септігін тигізеді.

Бұл жобаны қорғаудағы басты мақсат: тез есептеу әдістерін үйрене отырып, есептеуді ойша шешіп, есеп нәтижесін табуды жылдамдату және тез есептеу әдістері арқылы болашақта математика ғылымының дамуына өз үлесімді қосу. Cодай-ақ бұл жоба арқылы әр оқырманның математикалық қызығушылығын дамытып, өмірге деген ой толғанысын тудыру және білімін шыңдай түскім келеді. Осындай шараларды жүзеге асырып, қазіргі таңдағы негізгі проблема – оқушының пәнге деген қызығушылығын, есепке деген құштарлығын оятып, математикалық және логикалық білімін арттыруды өзімнің азаматтық борышым деп білемін. Сондықтан бұл ғылыми жоба ел арасында өз орнын тауып, кеңінен таралады деген ойдамын.

Бұл жобаның өзгешелігі: зерттеу жұмысы, мәліметтер мен есептеу нәтижелері нақты әрі мейілінше толық көрсетілген. Сонымен қоса тез есептеуге байланысты кейбір сандардың табиғатынан өзгеше қасиетке ие екендігі, өзінің осы қасиеттері арқылы тылсым сырға, тәрбиелік мәнге де қатыстылығымен ерекшеленеді. Осындай дербестігімен бұл жоба озық бағаланып, қоғамда өзіндік орнын табады деген ойдамын.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе. Математика өмірді сан арқылы бейнелейді. Адамзат баласы ең алғаш рет жазу-сызудан бұрын санауды үйренгені хақ. Осылайша, бертін келе адамдар қарапайым арифметикалық амалдарды қолдануды үйреніп,

олардың негізгі қасиеттерін сараптап, тағы басқа да математикалық білімдерін дамыта түседі. Әуел баста адамдар саусақтармен амалдар қолданып, кейіннен есептеудің өзге де тәсілдерін ашқан. Сондай-ақ жылдам есептеу әдістеріне талдау жасап, оны келешек ұрпаққа таратып отырған. Ал біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен ерекшеленеді. Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамға сапалы және терең білімнің, іскерліктің және жылдамдықтың болуын қажет етеді.

Сондай-ақ жастардың белсенді шығармашылықпен жұмыс істеуін де талап етеді. Сол себепті әрбір адам өз бойындағы туғаннан пайда болған интуициясын әрі қарай дамытуға, табиғи қасиеттерін, математикалық білім деңгейін тереңдету үшін өз бетінше білім алуға қадам басып, алға қарай ұмтылу қажет. Соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге көптеп енуі – оқушылардың шапшаң есептеу дағдыларына, ойлау қабілетінің тежелуіне әсер етуде. Осындай жайттарды ескерген әрбір оқушы өз бетінше шапшаң есептеуге, ауызша жаттығуларға көп уақыт бөліп отырғаны жөн. Cебебі тез есептеу әдістері есептеуді жеңілдетуге, математикалық терең ойлауды дамытуға және ең бастысы әр адамның интуициясын дамытуға өз үлесін қосады.

Математикалық логика ақыл-ой еңбегін техникаландырудың құралы болып табылады және ойлау процесін арнаулы математикалық әдістер, символдық аппараттар арқылы зерттейді. Бірақ дәстүрлі математикалық логика пәнін білмейінше, оны ойдағыдай меңгеру қиын. Өйткені бүгінгі күнде ғылыми технологияның дамуына байланысты адамзат баласы ой және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардың түр-түрін ойлап табуда. Мысалы, қазіргі кезде электронды есептеу машинасын қолдана отырып, кез-келген күрделі есептің шешімін аз ғана уақыт аралығында табуға болады. Тіпті, қарапайым есептеу құралы – калькуляторлардың өзі бүгінгідей нарық заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұның бәрі адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады. Алайда, қалыптасқан жағдайдың пайдасымен қатар зияны да жоқ емес. Атап айтқанда, бүгінде кез-келген оқушының қарапайым көбейту кестесін біле бермеуі мүмкін. Сол себепті де, баланың логикалық ойлау қабілетін дамыту бүгінгі күннің өзекті мәселелерінің бірі деуге болады. Осы жайды ескеріп, мен бұл ғылыми жұмыста логикалық ойлау қабілетін дамытатын шапшаң есептеудің кейбір әдістерін мейілінше қарастырдым. Ендеше, мен секілді математиканың ғылымилығын жаңа бастаған оқушы үшін бұл маңызды тақырып.

Бұл жобаны қорғаудағы басты мақсат: тез есептеу әдістерін үйрене отырып, есептеуді ойша шешіп, есеп нәтижесін табуды жылдамдату және тез есептеу әдістері арқылы болашақта математика ғылымының дамуына өз үлесімді қосу болып табылады. Cодай-ақ бұл жоба арқылы әр оқырманның математикалық қызығушылығын дамытып, өмірге деген ой толғанысын тудыру және білімін шыңдай түсу саналады. Осындай шараларды жүзеге асырып, қазіргі таңдағы негізгі проблема – оқушының пәнге деген қызығушылығын, есепке деген құштарлығын оятып, математикалық және логикалық білімін арттыруды мен өзімнің азаматтық борышым деп білемін.

Негізгі бөлім.

Көбейту кестесін жаттаудың оңай жолы. Математикаға кіріспе көбейту кестесін жаттаудан басталатыны баршаға аян. Оны жаттамаған бүлдіршін математиканы оқып үйрене алмайды. Алайда, көбейту кестесін жаттаудың да оңай тәсілі бар. Мәселен, 9 санына байланысты көбейту кестесін оп-оңай жаттауға болады. Ол үшін әуелі, 9 санын 1-ге көбейтуден бастап 1-ден 9-ға дейінгі сандарды ретімен жоғарыдан төмен қарай жазып шығамыз (1).

Кейін дәл осылай 1-ден 9-ға дейінгі сандарды ретімен төменнен жоғары қарай жазып шығамыз (2). Міне, осылай дайын көбейту кестесі шыға келеді (төмендегі кесте).

Жалпы бұл тәсіл өте тез есептеуге мүмкіндік бергенімен, жазып отыруды талап етеді. Сондықтан бізге бұдан да ойланбастан шығарылатын тиімді әдіс керек. Сондай әдістердің бірі – саусақпен жылдам есептеу әдісі. Бұл тәсіл ең тиімді әрі қарапайым саналады. Мәселен, 9×7 болсын. Бұл қарапайым көбейтудің нәтижесі 63 екені баршаға аян. Енді осы нәтижені саусақпен көбейту арқылы тексерсек. Алдымен қолыңыздың саусақтарын 7-ші саусаққа дейін санап, сосын 7-ші саусақты бүгіңіз. Енді бүгілгенге дейінгі саусақтардың санына, кейін бүгілгеннен кейінгі саусақтардың санына назар аударыңыз. Сонда бүгілген саусаққа дейінгі саусақтар саны шығатын мәннің ондық үлесіне тең болса, бүгілгеннен кейінгі саусақтар саны шығатын мәннің бірлігіне тең болады, яғни, 9×7꞊63 болады.

Енді тағы бір мысал келтірейік: 9×10 болсын. Сонда бүгілген саусаққа дейінгі сандар 9-ды берсе, ал бүгілгеннен кейінгі саусақта бірлік саны жоқ. Бұндай жағдайда шығатын санның бірлік цифры 0-ге тең деп ұйғарылады. Міне, осылайша 1-ден 10-ға дейінгі сандардың нәтижесін оңай есептеуге болады.

Ескерту: бұл тәсіл тек 1-ден 10-ға дейігі сандар үшін ғана орындалады.Егер байқаған болсаңыз, жоғарыдағы екі тәсіл де 9-ға байланысты орындалып жатыр. Ал оны өзгертетін болсақ, бұндай керемет жағдай орындалмас еді. Осындай ерекшелігін қазақ халқы байқаған болса керек, әйтеуір, осы санды қазақтар ерекше жақсы көреді. Бұл табиғаттың тылсым сыры ма, әлде жай ғана кездейсоқ оқиға ма, мұны әзірге ешкім де білмейді. Әйтеуір, осындай сандар көмегімен математикада шапшаң есептеу әдістері жоғарыда көрсетілгендей тамаша үйлесімін тауып жатады.

Көбейту кестесін оңай жаттаудың келесі бір оңай әдісі – Л.Н. Толстой ұсынған көбейту тәсілі саналады. Орыстың ұлы жазушысы саналған Л.Н. Толстой орыс мектебінде бастауыш сынып оқушыларына сабақ бергені бәрімізге белгілі. Ол өз шәкірттеріне көбейтудің мынадай әдісін ұсынған: әуелі көбейту кестесіндегі 1-ден 5-ке дейінгі амалдарды жаттатып, 6-дан 9-ға дейінгі сандардың көбейтіндісін саусақтың көмегімен жүргізді.

Бұл әдіс бойынша әрбір көбейткіштен 5 санын алып тастап, қалдықтарды екі қолдың саусақтарын бүге отырып, шығарып алды да, осы бүгілген саусақтарды қосады. Бұл – көбейтіндідегі ондықтар саны. Енді бізге бірліктер санын табу керек. Ол үшін қалған екі қолдың бүгілмеген саусақтарын өзара көбейтіп, ондықтарға қосу керек. Мысалы: 9 7 көбейту керек болсын. Әр көбейткіштен 5-ті шегерсек, 2 және 4 саны шығады. Бір қолда 2 саусақ, басқасында 4 саусақ бүгіледі. Олардың қосындысы – 6, бұл ондықтар. Қалған бүгілмеген саусақтар өзара көбейтіледі: 1  3 3. Олай болса, көбейтінді 9 7 63-ке тең.

Саусақпен шапшаң көбейту әдісі. Саусақтарды бүгіп санау ерте заманда кең қолданылып келді. Адамның саусақтары мен олардың буындары, сондай-ақ саусақтарын бүгу және жазу, қолдарын бүгу мен жазу олардың ондаған және жүздеген мыңға дейін санай алуына ғана емес, сол сияқты кейбір арифметикалық амалдарды орындауына да мүмкіндік берді. Мысалы, ежелгі римдіктер 5 пен 10 сандарының арасындағы сандарды саусақпен былайша көбейткен.

Айталық, 6-ны 7-ге көбейту керек болсын. Сол қолымыздың жұдырығын жазбастан, бір-бірлеп саусағымызды жаза отырып, 6-ға дейін санаймыз. Ал оң қолымыздың саусақтарымен дәл соны қайталап, 7-ге дейін санаймыз. Оң қолдың жазылған екі саусағын сол қолдың жазылған бір саусағынан үстіне саламыз. Жазылған саусақ небары 3-еу болады, бұл – 3 ондық, яғни, 30 болады. Қалған төртеуі (сол қолдың бүгілулі тұрған саусақтары) 3-ке (оң қолдын бүгілулі саусақтарына ) көбейтіледі, сонда 12 шығады. Сөйтіп, 6•7=42 мәнін аламыз.

Осылайша:
6•8=(1+3)•10+4•2=48                                6•9=(1+4)•10+4•1=54
7•7=(2+2)•10+3•3=49                                7•8=(2+3)•10+3•2=56
7•9=(2+4)•10+3•1=63                                8•8=(3+3)•10+2•2=64
8•9=(3+4)•10+2•1=72                                9•9=(4+4)•10+1•1=81
cандарының мәндерін ойша табуға болады.
Ескерту: •белгісі көбейту амалын білдіреді.

Санның бөлінгіштік белгісімен есептеуді жеңілдету. Кейде есептеу барысында мынадай есептер жиі ұшырасады:

3-ке бөлінетін  түріндегі ең кіші натурал санды табыңдар. Мұндай  есепті шешу үшін сандардың бөлінгіштік белгісін жақсы білу керек.

Кейбір сандардың бөлінгіштік белгілері:

2-ге бөлінгіштік белгісі: тек жұп цифрмен аяқталатын сандардың барлығы, тек сол сандар ғана, 2-ге бөлінеді. Мысалы, 123547894 саны 2-ге бөлінеді, өйткені, 4 саны 2-ге бөлінеді; 12354789 саны 2-ге бөлінбейді, өйткені, 9 саны 2-ге бөлінбейді.

3-ке бөлінгіштік белгісі: тек цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетін сандар ғана, 3-ке бөлінеді. Мысалы, 123547812 саны 3-ке бөлінеді, өйткені, 1+2+3+5+4+7+8+1+2=33 саны 3-ке бөлінеді, ал 57312427 саны 3-ке бөлінбейді, өйткені 5+7+3+1+2+4+2+7=31 саны 3-ке бөлінбейді.

4-ке бөлінгіштік белгісі: тек соңғы екі цифрымен таңбаланған сан 4-ке бөлінетін сандар ғана, тек сол сандар ғана, 4-ке бөлінеді. Мысалы, 83745656 саны 4-ке бөлінеді, өйткені, 56 саны 4-ке бөлінеді; 5349741414 саны 4-ке бөлінбейді, өйткені, 14 саны 4-ке бөлінбейді.

5-ке бөлінгіштік белгісі: тек соңғы цифрлары 5-ке бөлінетін сандар ғана, тек сол сандар ғана, 5-ке бөлінеді. Мысалы, 278324170 саны 5-ке бөлінеді, өйткені, 0 саны 5-ке бөлінеді; ал 12937234 саны 5-ке бөлінбейді, өйткені, 4 саны 5-ке бөлінбейді.

6-ға бөлінгіштік белгісі: тек 2-ге және 3-ке бөлінетін сандар ғана 6-ға бөлінеді. Мысалы, 10202010 саны 6-ға бөлінеді, өйткені, бұл санның соңғы цифры 0 болатындықтан, 2-ге бөлінеді және 1+0+2+0+2+0+1+0=6 саны 3-ке бөлінеді, ал 2012 саны 6-ға бөлінбейді, өйткені, бұл сан 2-ге бөлінгенімен 3-ке бөлінбейді.

8-ге бөлінгіштік белгісі: тек  саны 8-ге бөлінетін сандар ғана, тек сондай сандар ғана 8-ге бөлінеді. Мысалы, 437258112 саны 8-ге бөлінеді, өйткені, 112 саны 8-ге бөлінеді, ал 256124 саны 8-ге бөлінбейді, өйткені, 124 саны 8-ге бөлінбейді.

9-ға бөлінгіштік белгісі: тек цифрларының қосындысы 9-ға бөлінетін сандар ғана, тек сол сандар ғана, 9-ға бөлінеді. Мысалы, 23752827 саны 9-ға бөлінеді, өйткені, 2+3+7+5+2+8+2+7=36 саны 9-ға бөлінеді, ал 1541547179 саны 9-ға бөлінбейді, өйткені, 1+5+4+1+5+4+7+1+7+9=44 саны 9-ға бөлінбейді.

10-ға бөлінгіштік белгісі: тек нольмен аяқталатын сандар ғана, тек сол сандар ғана, 10-ға бөлінеді. Мысалы, 1234567890 саны 10-ға бөлінеді, өйткені, 0 саны 10-ға бөлінеді, ал 2012 саны 10-ға бөлінбейді, өйткені, 2 саны 10-ға бөлінбейді.

11-ге бөлінгіштік белгісі: тек санның құрамындағы тақ орындағы цифрларының қосындысы мен оның жұп орындағы цифрларының қосындысының айырмасы 0-ге тең немесе 11-ге бөлінетін сандар ғана, тек сол сандар ғана, 11-ге бөлінеді. Мысалы, 43715265 саны 11-ге бөлінеді, өйткені, (4+7+5+6)-(3+1+2+5)=22-11=11 саны 11-ге бөлінеді, ал 12922120 саны 11-ге бөлінбейді, өйткені (1+9+2+2)-(2+2+1+0)=14-5=9 саны 11-ге бөлінбейді.

25-ке бөлінгіштік белгісі: тек соңғы екі цифрларымен таңбаланған сан 25-ке бөлінсе немесе сан екі нольмен аяқталса, тек сол сандар ғана 25-ке бөлінеді. Мысалы, 4381997550 саны 25-ке бөлінеді, өйткені, 50 саны 25-ке бөлінеді, ал 1112221740 саны 25-ке бөлінбейді, себебі, 40 саны 25-ке бөлінбейді.

Енді осы анықтамаларды пайдаланып, жоғарыда берілген есепті шығарайық (3-ке бөлінетін  түріндегі ең кіші натурал санды табыңдар).

Шешуі: мұндай түрдегі берілген санның цифрларының қосындысы мынаған тең: 1+2+3+4+3+х+у=13+x+y. берілген 3 сан 3-ке бөлінетін бұл қосындының ең кіші мәні 15-ке тең, яғни х+у=2-ге тең. х+у=2 шартын қанағаттандыратын есептің шартында берілген түрдегі сандардың үш түбірі бар: 1230432, 1232430, 1231431, бұлардың ішіндегі ең кішісі а = 1230432-ге тең.

2-ден басқа, берілген түрдегі сандар үшін х+у қосындысы 3-ке бөлінетін мынадай сандар бар: 5, 8, 11, 14, 17.

Егер х+у=5 болса, онда ең кіші сан 1230435-ке тең, ал х+у=8 болса, онда ең кіші санның 1230438-ге тең болатындығы айқын. Бұл табылған екі санның мәні а-дан артық. Бар қалған 3 жағдайларда да (x+y=11, x+y=14, x+y=17) шығатын ең кіші сандардың а санынан артық болатындығына оңай көз жеткізуге болады. Сонымен, ізделінді сан a=1230432-ге тең.

2 мысал: 12 қосындысы қосындысы 3-ке бөлінетін ең үлкен х цифрын анықтау керек болсын.

Шешуі: 12 саны және берілген қосынды 3-ке бөлінетіндіктен,  саны олардың айырымы ретінде 3-ке бөлінеді. 5 x 3-ке бөлінетін ең үлкен цифр 7-ге тең, яғни, х 7. Жауабы: х 7.

Ферроль әдісімен көбейту. Көбейтіндінің бірлігін алу үшін көбейткіштердің бірліктерін көбейтеді. Ондығын алу үшін біреуінің ондығын бірлігіне және керісінше көбейтіп, қосындыға ойға алған санды қосады, жүздігін алу үшін ондықтарын көбейтеді. Бұл әдіс мына теңдіктен шығады:

(10а+в)(10с+д)=100ас+10(ад+вс)+вд.

1 мысал: 2738=1026.

а) 7×8=56; 6-ны жазамыз, 5-ті ойға аламыз.

б) 2×8+7×3+5=42, 2 жазылады, 4 ойға алынады.

в) 2×3+4=10.

2 мысал: 12×14=168.

а) 2×4=8.

б) 1×2+1×4=6.

в) 1×1=1.

Осы әдіспен үш орынды санды екі орынды санға да көбейтуге болады.

Мысалы: 125×23=2875.

а) 3×5=15, 5 жазылады, 1 ойға алынады.

б) 2×3+2×5+1=17, 7 жазылады, 1 ойға алынады.

в) 2×2+1×3+1=8,8 жазылады.

г) 2×1=2, 2 жазылады, сонымен нәтиже: 125×23=2875 болады.

Ескерту: мұндағы  белгісі көбейту амалын білдіреді.

11 санына шапшаң көбейту әдісі. Есептеуді тездетудің өзгеше бір әдісі – санды 11-ге көбейту әдісімен танысайық. Мысалы, 26-ны 11-ге көбейту керек болсын. Oл үшін әуелі 26 санын құрайтын 2 және 6 цифрларын қосып, 2 шыққан қосындыны 2 және 6 цифрларының арасына «сыналап» енгізіп жазамыз, сонда 286 саны пайда болады.

Cанды құрайтын цифрлардың қосындысы екі таңбалы сан болуы да мүмкін, алғашқы цифры 1 болмақ. Осы 1-ді санның ондық орында жазылған цифрына қосу керек те, цифрлардың арасына қосындының бірлік орындағы цифрын «сыналап» енгізу шарт. Мысалы, 75-ті 11-ге көбейткен кезде 75 санын құрайтын цифрларды қосып, (7+5=12) пайда болған нәтиженің алдыңғы цифрын 7-ге қосамыз. Сонда 85 саны, ал 2 цифрын жаңадан пайда болған 85 санының  8 бен 5 цифрларының арасына «сыналап» ендіріп жазсақ, 825 саны пайда болады.

11-ге лезде көбейту тәсілін мына теңдеуден аңғаруыңызға болады:

(10a+b)11=110a+11b=100a+10b(a+b)+b.

Ескерту: мұндағы  белгісі көбейту амалын білдіреді.

Cанды лезде 1001-ге көбейту. 1001 – даңқы шыққан Шахеризада саны 7, 11 және 13 сандарына қалдықсыз бөлінеді немесе 1001=7 11 13 болады, бірақ бұл санның ерекшелігі бұл емес. Кез келген үш таңбалы санды 1001-ге көбейткенде шығатын көбейтіндіні осы үш таңбалы санды екі рет қайталап жазғанға тең. Яғни, есептеу барысында жоғарыдағы ережені пайдаланып, есептің нәтижесін әп-сәтте табуға болады. Мәселен:

873 1001=873873

236 1001=236236

Бұл санның қандай ғажап сыры бар екендігін дәлелдеп көрейік. Ол үшін «ойлаған санды табу» есебін шығарып көрейік. Ол үшін бір оқушыға үш таңбалы санды ойлауды ұсынады (оны қағазға жазғаны дұрыс). Енді ойлаған санға осы санның өзін тіркеп жазып, сан жазылған қағазды екінші оқушыға береді. Екінші оқушы қағазға жазылған санды 13-ке бөліп, шыққан санды үшінші оқушыға береді, үшінші оқушы 13-ке бөлінген санды 11-ге бөліп, 4-ші оқушыға беруі керек, ал төртінші оқушы екіншіге бөлінген санды 7-ге бөліп, шыққан санды оқуы керек. Бұл сан бірінші оқушының ойлаған саны болады.

Мұның ешқандай құпияcы жоқ. Үш таңбалы бір сан ойлап, оны 1001-ге көбейтіп, қайта 1001-ге бөлдік. Нәтижесінде ойлаған санның өзі шықты. Бұл саннан басқа да үш таңбалы кез келген сан ойлап, ойынды жалғастыруға болады.

Енді 1001 санын 2 таңбалы санға көбейтелік: 47х1001=47047; 68х1001=68068. Бұдан кез келген екі таңбалы санды 1001-ге көбейтсек, нәтиже сол санды екі рет тіркеп, арасына 0 санын тіркегендегі мәнге тең болады.

Келесі кезекте 1001 санын төрт таңбалы санға көбейтелік: 5628х1001=5633628 саны шығады.

Бұдан байқағанымыз: 5628х1000+5628=562800+5628=5633628 шығады.

Дәл осылай санды түрлендіру арқылы есепті шешуді жеңілдетуге болады.

Ескерту: мұндағы  белгісі көбейту амалын білдіреді.

 

Демек, берілген өрнектің мәні 0,6-ға тең.

Ескерту: мұндағы  белгісі көбейту амалын білдіреді.

Тетелес сандарды оңай көбейту. Тетелес сандарды оңай көбейту үшін әуелі көбейтілетін санның неше таңбалы екенін жақсы ажырата алу керек. Егер тетелес сандар екі таңбалы болса, алдымен олардың ондық цифрлары өзара көбейтіледі. Кейін ондық цифры тетелес сандардың бірліктерінің қосындысына көбейтіледі. Ең соңында тетелес сандардың бірліктері өзара көбейтіліп, жоғарыдағы амалдардан шыққан нәтижелер өз кезегімен қосылады. Осылайша, нәтиже әп-сәтте шыға келеді.

Мұндай көбейту кезінде алдыңғы екі шарт өзгермейді. Алайда, бірліктер санын тапқанда біз көбейтіндіні 0 деп жазбаймыз. Себебі бұл жағдайда жоғарыдағы өрнектің мәні дұрыс шықпайды, сондықтан бірліктер мәніне жоғарыдағы өрнектің бірліктерінің бірігуін аламыз (яғни 90 cаны), сонда:
3×4=12 жүздік
3(9 )=27 ондық
9×0=90 бірлік
39×40=1200 1560 шығады.
3-мысал: (Үш таңбалы сандар үшін). 326×327=?
3×3=9 онмыңдық
3(26 ) =159 жүздік
26×27=400 260 42=702 бірлік
326×327=90000 15900 702=106602.
Ескерту: мұндағы  белгісі көбейту амалын білдіреді.

Есепті түрлендіру арқылы нәтижесін оңай табу. Алгебралық есептерді шешкенде оңай әрі тиімді тәсілдер қолданылады. Асқан шебер есептеушілер көптеген жағдайларда онша күрделі емес алгебралық түрлендірулерге сүйене отырып, өздерінің есептеу жұмыстарын оңайлатады. Мысалы,  есептеу былайша іске асырылады:

988•988=(988+12)(988 )+ =1000•976+144=976144.

Есептеушінің бұл жағдайда мына алгебралық түрлендіруді пайдаланатынын аңғару оңай: + =( b)(a+b) .

Біз іс жүзінде бұл формуланы ауызша есептеулер үшін ойдағыдай пайдалана аламыз. Мысалы:

Бұл тәсіл неге негізделгенін анықтау үшін көбейткіштерді мына түрде жазалық:

(1000 14)(1000 3). Және мүшелерді алгебра ережесі бойынша көбейтелік:

1000•1000 1000•14 1000•3+14•3.

Мұны түрлендірейік:

1000(1000 14) 1000•3+14•3=1000•986 +14•3=1000(986 3)+14•3.

Соңғы жол есептеушінің қолданған тәсілін кескіндейді.

Ондықтарының да, жүздіктерінің де цифрлары бірдей, ал бірақ бірліктерінің цифрларының қосындысы 10 болатын үш таңбалы екі санды өзара көбейту тәсілі қызықты. Мысалы, 783•787 көбейту былайша орындалады:

78•79=6192; 3•7=21; нәтижесі: 616221.

Бұл тәсілді негіздеу мына түрлендірулерден айқын көрінеді:

(780 )(780+7)=780•780+780•3+780•7+7•3=780•780+780•10+3•7=780(780+ +7• 3=780•790+21=616200+21.

Осыған ұқсас көбейтуді орындауға арналған мына бір әдіс бұдан да оңай:

783•787=(785 2)(785+2) = =616225 4=616221 (қысқаша көбейту формуласымен есепті түрлендіріп, есеп нәтижесін тездеттік).

Бұл мысалда біздің 785 санын квадрат дәрежеге шығаруымызға тура келеді. 5-пен аяқталатын сандардың квадрат дәрежесін тез табу үшін мына тәсіл өте ыңғайлы: =1225, 3•4=12; =4225,6•7=42.

Бұл ереже бойынша ондықтар саны өзінен бір бірлікке артық санға көбейтіліп, осы көбейтіндіге 25 саны тіркеліп жазылады.

Кейде есеп шығару барысында мынадай есептер жиі кездеседі:

 

Бұл тәсіл неге негізделгенін анықтау үшін көбейткіштерді мына түрде жазалық:

(1000 14)(1000 3). Және мүшелерді алгебра ережесі бойынша көбейтелік:

1000•1000 1000•14 1000•3+14•3.

Мұны түрлендірейік:

1000(1000 14) 1000•3+14•3=1000•986 +14•3=1000(986 3)+14•3.

Соңғы жол есептеушінің қолданған тәсілін кескіндейді.

Ондықтарының да, жүздіктерінің де цифрлары бірдей, ал бірақ бірліктерінің цифрларының қосындысы 10 болатын үш таңбалы екі санды өзара көбейту тәсілі қызықты. Мысалы, 783•787 көбейту былайша орындалады:

78•79=6192; 3•7=21; нәтижесі: 616221.

Бұл тәсілді негіздеу мына түрлендірулерден айқын көрінеді:

(780 )(780+7)=780•780+780•3+780•7+7•3=780•780+780•10+3•7=780(780+ +7• 3=780•790+21=616200+21.

Осыған ұқсас көбейтуді орындауға арналған мына бір әдіс бұдан да оңай:

783•787=(785 2)(785+2) = =616225 4=616221 (қысқаша көбейту формуласымен есепті түрлендіріп, есеп нәтижесін тездеттік).

Бұл мысалда біздің 785 санын квадрат дәрежеге шығаруымызға тура келеді. 5-пен аяқталатын сандардың квадрат дәрежесін тез табу үшін мына тәсіл өте ыңғайлы: =1225, 3•4=12; =4225,6•7=42.

Бұл ереже бойынша ондықтар саны өзінен бір бірлікке артық санға көбейтіліп, осы көбейтіндіге 25 саны тіркеліп жазылады.

Кейде есеп шығару барысында мынадай есептер жиі кездеседі:

Ескерту: мұндағы  көбейту амалын білдіреді.
Ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды шапшаң квадраттау әдісі. Ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды шапшаң квадраттау үшін 25 санына санның бірлік разрядындағы цифры қосылады, оның оң жағынан бірлік разрядтағы сан квадратталып тіркеліп жазылады, төрт таңбалы сан шығатындай тәртіп сақталады, осылайша ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды квадраттау еш қиындыққа соқпайды.
Бұл әдіс мына тепе-теңдікке негізделген: (50+а) =100(25+а)+а. Мысалы:  нәтижесін табу керек болсын. Жоғарыда атап көрсетілгендей, алдымен бірлік разрядтағы цифрдың квадратын табамыз: . Кейін 25 санына санның бірлік разрядындағы цифрды қосып, (25 ) 31 санын аламыз және төрт таңбалы сан шығатындай тәртіп сақтап, 3136 мәнін аламыз. Cонда: мәні шығады.
Бірлік цифры 1 болатын екі орынды сандарды шапшаң квадраттау әдісі. Квадраттауды жеңілдетудің тағы бір әдістерінің бірі – бірлік цифры 1 болатын екі орынды сандарды шапшаң квадраттау әдісі. Мұндай квадраттау әдісі кезінде санның бірлік разрядындағы цифры квадратталып (бұл жерде мәні әрқашан 1 болады), ондық цифры өз-өзіне қосылады (бұл шығатын санның ондық үлесін береді). Шығатын санның жүздік үлесі берілген екі таңбалы санның ондық цифрының квадратына тең болады.
Ескерту: егер шығатын санның ондық цифры оннан артық болса, оның бірлігі қалып, ондығы шығатын мәннің цифрына қосылады. Мысалы:

100 8 6561,

100 10 1 2500 100 1 2601 саны шығады

Ескерту: мұндағы  көбейту амалын білдіреді.
 

Санның түбірін табудың құпиясын білесіз бе? Кейде есеп шығару барысында санның арифметикалық түбірін ойша табу бізге оңайға соқпайтыны ақиқат. Алайда, санның түбірін табудың өзіндік ережесін білсек, оны әп-сәтте табуға болады. Ол үшін әуелі 1-ден 10-ға дейінгі сандар дәрежелерінің қандай цифрмен аяқталатынын білу жеткілікті. Мәселен, санның куб түбірін табу үшін әуелі төменде көрсетілгендей сандардың кубының соңғы цифрларын табамыз:
13=1, 23=8, 33=27,  43=64, 53=125, 63=216, 73=343, 83=512,  93=729, 103=1000.
Ерекшелігін байқасаңыз, кубтағанда шыққан сандардың бәрінің соңғы цифры әртүрлі, ешқайсысы қайталанбайды. 1, 4, 5, 6, 9 сандарын кубтағанда соңғы цифлары өздеріне тең. Ал 2, 3, 7, 8 сандарының кубының соңғы цифры 10-нан сол сандарды алып тастағандағы айырмаға тең. Яғни, 3 дәрежелі санның түбірін тапқанда жоғарыдағы шарт нәтиженің соңғы цифрын табу үшін керек болады.
Ал нәтиженің алғашқы цифрын табу үшін бастапқы берілген 3 дәрежелі санның 3 цифрын алып тастаймыз (егер берілген арифметикалық түбірдің дәреже көрсеткіші n болса, нәтиженің алғашқы цифры берілген саннан n-ді алып тастағандағы шыққан санның n дәрежесіне жуық болады). Одан кейін қалған сан 3 дәрежелі сандар кестесіндегі қай санның 3 дәрежесіне жақын болса, сол жақын сан берілген сан түбірінің алғашқы цифры болады. Мәселен,  нәтижесін табу керек болсын.
Шешуі: берілген санның соңғы цифры 3 болғандықтан, шығатын нәтиженің соңғы цифры 10  болады. Жоғарыда атап көрсетілгендей, шығатын нәтиженің алғашқы цифрының куб дәрежесі 658 cанына жақын болады. Сондықтан:  = 87 саны шығады.
Бесінші дәрежелі санның түбірін оңай табу әдісі. Бесінші дәрежелі санның түбірін оңай табу үшін әуелі бірден онға дейінгі сандардың 5 дәрежесі қандай цифрмен аяқталатынын дәрежелеу арқылы анықтап аламыз: 15=1, 25=32, 35=243, 45=1024, 55=3125, 65=7776, 75=16807, 85=32768, 95=59049, 105=100000 болады. Бұл сандардың 5 дәрежесінде шыққан сандардың соңғы цифры негізімен бірдей. Демек, шығатын санның соңғы цифры берілген санның соңғы цифрымен сәйкес болады.
Келесі кезектегі түбірден шығатын санның бірінші цифрын табу үшін берілген санның соңғы 5 цифрын алып тастаймыз. Одан кейін қалған сан 5 дәрежелі сандар кестесіндегі қай санның 5 дәрежесіне жақын болса, сол жақын сан берілген сан түбірінің алғашқы цифры болады.
Осындай әдіс арқылы есептеуді жеңілдетуге болады. Мысалы:  табу керек болсын.
Шешуі: берілген санның соңғы цифры 7 болғандықтан, шығатын нәтиженің де соңғы цифры 7 болады. Жоғарыда атап көрсетілгендей, шығатын нәтиженің алғашқы цифрының куб дәрежесі 14 cанына (бұл жерде 1419857 cанынан 5 цифрды қысқарттық) жуық болуы шарт. 2-нің 5 дәрежесі 14-тен асып кеткені үшін нәтижеге 1-ді аламыз. Сонда: 17 cаны шығады.
Жетінші дәрежелі санның түбірін табу. Түбір табудың мұндай кезінде жоғарыдағы айтылған шарттар толық орындалуы тиіс. Тек қана өзгешелігі берілген санның бірінші тұрған цифрын табу үшін сол санның соңғы 7 цифрын алып тастаймыз. Мәселен:  саннының түбірін табу керек. Мұның соңғы цифры 7, демек, 10-7=3 – ізделетін санның соңғы цифры.
Ал енді түбірдің бірінші цифрын табайық. Ол үшін берілген санның соңғы 7 цифрын алып тастаймыз. Нәтижеде 340 саны қалады. Бұл дәреже кестесінде 2 мен 3-тің арасында тұр. Бұдардың кішісі 2. Ендеше, түбірден шығатын санның бірінші цифры – 2. Сондықтан: =23 саны шығады.
Сан жағынан ұзақ цифрлардан да түбір табуға болады. Сондықтан да енді тоғызыншы дәрежелі түбір табуды қарастырамын. Мысалы, -тің түбірін табайық. Ізделетін соңғы сан цифры – 3.

Соңынан 9 цифр алып тастағанда 46411 саны қалды, бұл 9 дәрежелі сандар кестесінде 3 пен 4-тің арасында жатыр. Ендеше, -тің мәні 33-ке тең болып шықты.
Екінші дәрежелі түбір табудың вавилондық әдісі. Біздің заманымыздан бұрынғы (б.з.б.) 2000 жылдар шамасында Вавилонда дәл 2 дәрежесі болмайтын сандардан 2 дәрежелі түбірлерін жуық шамамен табудың мынадай әдісі қолданылған.
Берілген D санына жуықтау дәл 2 дәрежесі болатын санын (бұл сан D-дан кіші немесе үлкен болуы да мүмкін) таңдап аламыз да, одан 2 дәрежелі түбір табамыз, ол а-ға тең болмақ. Осыдан кейін D санын а-ға бөлеміз де, мынадай теңдік жазамыз: (a  ).
Бұл формуланың пайдасы өте көп. Мысал үшін дәл 2 дәрежелі түбірі болмайтын 43 санынан 2 дәрежелі түбір табу керек болса, 43 санына жуықтау келетін әрі дәл 2 дәрежелі түбірі болатын 6 санын таңдаймыз, себебі 36, яғни, 36 саны 43-ке жақын әрі дәл 2 дәрежелі түбірі табылатын сан.
Жоғарыдағы формула бойынша: (6 )
Cондықтан,  мәні біздің іздеген жуық мәніміз болады. -тің дәл түбірінің кестесі бойынша  –ке тең екенін анықтаймыз. Айырмашылығы жүздік үлес бойынша 3-ке артық болып анықталған. Мінекей, 2 дәрежелі түбір табудың вавилондық әдісі арқылы есептеуді осылайша жеңілдетуге болады.
Күрделі  радикалды түрлендіру арқылы жылдам есептеу. Мына өрнекті , мұндағы a, b және c қайсыбір сандар қос радикал немесе күрделі радикал деп атайды.
Күрделі радикалды түрлендіру мына формула арқылы жүзеге асады:

 

Күрделі радикалы бар өрнектерді түрлендіргенде көбінесе қос радикалды ішкі радикалдан құтқарып алған тиімді.
Егер түбір астында тұрған өрнек толық квадрат болса, онда оны мына тепе-теңдікті  қолдану арқылы сыртқы радикалдан құтқаруға болады.

1 мысал:

Шешуі: арифметикалық квадрат түбірдің қасиетін пайдаланып табатынымыз:

 

Ескерту: жоғарыда көрсетілген  белгісі көбейту амалын білдіреді.

Кейбір есептерді шығарудың тиімді әдістері. Кейде есеп барысында мынадай есептер жиі кездеседі:

  1. a) 100! саны неше нөлмен аяқталады: (100)!= 1*2*3*…*100).

ә) 19821982 саны қай цифрмен аяқталады?

б) 21984 – 11 саны 3-ке бөліне ме?

в) 2100 санының неше цифры бар?

г) Қай сан үлкен: 1020 немесе 2010? 10020 немесе 90010?

д) (2*57 – 5*27)83 – [(2*57)83 – (5*27)83] өрнегі 83-ке бөліне ме?

е) 1110  – 100-ге бөліне ме?

ж) 1010 санының неше бөлгіші бар?

з) 333555+555333 өрнегінің 37-ге бөлінетінін дәлелдеу керек.

Енді осылардың шығарылу жолдарымен танысайық:

  1. a) Шешуі: 100! саны неше нөлмен аяқталады ? (100)!= (1*2*3*…*100).

Әрбір санда 10 көбейткіші неше рет кездессе, сонша нөлмен аяқталады. Бірақ та 10 саны 5 пен 2-нің көбейтіндісіне тең. Сондықтан, ізделуші нөлдер саны мына екі санның ең кіші көбейткішіне: 100! санының жай көбейткіштерге жіктелуіндегі көбейткіштерінің саны 2 мен 5 санына тең.

100! санында  2 саны 5-тен көп рет кездеседі. Сондықтан 100! санының жіктелуіндегі 5-тердің санын анықтау керек болады. 100! санында 5-ке еселік 20 сан, олардың арасында 4-ке еселік 25 сан – олар мына төртеуі: 25, 50, 75 және 100. Олай болса, 100! санының жай көбейткіштерге жіктелуінде 5 саны 24 дәрежеде кездеседі (себебі 20+4=24). Сонымен 100! саны 24 нөлмен аяқталмақ.

ә) Шешуі: 19821982 саны қай цифрмен аяқталады?

1982 санының натурал дәрежесінің соңында қайталанатын цифрларының заңдылығын анықтайық. 1982 саны 2 цифрымен аяқталған, 19822 саны 4 цифрымен, 19823 саны 8 цифрымен, 19824 саны 6 цифрымен, 19825 саны 2 цифрымен аяқталады. 1982 санының натурал дәрежесінің соңғы цифры әрбір төрт дәрежеден соң қайталанатынын анықтадық. 19821982 = 1982495*2 + 2, олай болса, 19821982 саны 19822 секілді 4 цифрымен аяқталады.

б) Шешуі: 21984 – 11 саны 3-ке бөліне ме?

21984 дәрежесін 22*992 деп жазуымызға болады, 22=4, олай болса, бастапқы берілген 21984 санын 4992 деп жаза аламыз. Сондықтан 4992 – 1=(3+1)992 – 1. Енді (3+1)992 биномының барлық  жіктелуінің  алғашқы 992 мүшесінің қосындысы 3-ке бөлінеді. Жақша ішіндегі 1-дің 992 дәрежесі 1-ге тең болатындықтан ол берілген сандағы 1-мен қосылып, 0 болады. Олай болса, берілген сан 3-ке бөлінеді.

в) Шешуі: 2100 санының неше цифры бар?

2100=х. Теңдікті логорифмдесек, lg x=100 lg 2= 100*0,3010=30,1. Сондықтан берілген 2100 санын жазу үшін 31 цифр қажет екен.

г) Шешуі: қай сан үлкен: 1020 немесе 2010? 10020 немесе 90010?

1) 1020=1010*1010>1010*210; 1020>2010.

2) 10020=10010*10010>9010*1010; 10020>90010.

д) Шешуі: (2*57 – 5*27)83 – [(2*57)83 -( 5*27)83] өрнегі 83-ке бөліне ме?

Бұл өрнектегі жақша ішіндегі 2*5 көбейтінділерін 10-мен алмастырып, бірдей мүшелерді жақша сыртына шығарып ықшамдайтын болсақ:

1083*[(56–26)83–1083*[(56)83–(26)83]=1083*[(56–26)83 – (56)83+(26)83].

Енді (56–26)83-ті Ньютон биномы формуласы бойынша жіктейтін болсақ, жіктелудегі бірінші және соңғы мүшелер биномның дәрежесінен кейінгі мүшелермен жойылып кетеді. Өзге мүшелерінің барлық коэффиценттері 83-ке еселік болатындықтан барлық өрнек 83-ке бөлінеді.

е) Шешуі: 1110 – 100-ге бөліне ме?

Олай болса, бүкіл қосынды 100-ге бөлінеді.

ж) Шешуі: 1010 санының неше бөлгіші бар?

1010=(2*5)10=210*510. Осы көбейтіндінің бөлгіштері 2к *5к болады, және n – 10 санынан артық емес бүтін оң сандар. Осылар арасында 2-нің дәрежесі түрінде 11 бөлгіш бар: 20, 21, 22, …, 210, дәл соншама тек 5-тің дәрежелерін қамтитын бөлгіштері бар. 2 санының дәрежесі түріндегі барлық бөлгіштері мен 5-тің дәрежесі түрінде бөлгіштерін өзара көбейтсек, 11*11 = 121 бөлгіші болатынына көзімізді жеткіземіз.

з) Шешуі: 333555 +555333 өрнегінің 37-ге бөлінетінін дәлелдеу керек.

333555 +555333=3555*111555+5333*111333 =111333(3555*111222+5333).

111=3*37 болғандықтан берілген өрнек 37-ге бөлінеді. Берілген өрнектің 111-ге, 111333-ке, 3333-ке, 37333-ке бөлінетіндігін естен шығармау керек.

 

 

Қорытынды. Қазіргі заман математика ғылымының өте кең, жан-жақты тараған кезеңі. Қазіргі таңдағы қоғамның дамуының негізгі факторы – білім, ғылым және демографиялық, саяси тұрақтылық. Олай болса, дәуір қанша құбылғанымен, біздің жас болашағымыздың жақсы болуы білім – ілімсіз жүзеге асуы мүмкін емес. Сондықтан да, еліміздің Президенті Н.Ә. Назарбаевтың білім мен ғылымның дамуына баса назар аударуы, оны үнемі өз бақылауында ұстауы – соның айқын дәлелі.

Алайда, соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге көптеп енуі оқушылардың шапшаң есептеу дағдыларына, ойлау қабілетінің тежелуіне әсер етуде. Осындай жайттарды ескерген әрбір оқушы өз бетінше шапшаң есептеуге, ауызша жаттығуларға уақыт бөліп отырғаны жөн. Сондықтан мен өзімнің шығармашылық жобамды жан-жақты ізденіп, теориялық білімімді өмірмен ұштастырып, шапшаң есептеуді жүзеге асыруды әр түрлі есептерді шығару арқылы дәлелдеуге тырыстым. Бұл ғылыми жұмысты жасай отырып, шапшаң есептеудің кейбір әдістерін зерттеуді жүзеге асыруда әр түрлі есептердің арасында үнемі байланыс болатындығына көз жеткіздім және тез есептеудің әртүрлі әдістеріне мүмкіндігінше тоқталдым. Зерттеу жұмыстарын жүргізу барысы менің зор ынтамды тудырды, білгенімді тереңдетіп, жаңа іс-қимылға жетеледі.

Менің бұл жобаны қорғаудағы мақсатым: тез есептеу әдістерін үйрене отырып, болашақта математика ғылымының дамуына өз үлесімді қосу болып табылады. Cондай-ақ, бұл жоба арқылы әр оқырманның математикалық қызығушылығын дамытып, ой толғанысын тудыру және білімін шыңдай түскім келеді.

Жалпы алғанда, жобада көрсетілген бұл әдістердің қай-қайсысы болмасын, есептеуді жеңілдетуде және әр оқырманның ой ұшқырлығын дамытуда олардың алар орны ерекше. Бұл жоба енді ғана көбейту кестесін жаттап келе жатқан жас бүлдіршіндерге, тәжірибесін арттырып келе жатқан мектеп оқушыларына, олимпиадаға дайындық үстіндегі жас математиктер мен ұстаздар үшін, бір сөзбен айтқанда, көпшілік қауым үшін де таптырмас еңбек болары сөзсіз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Әдебиеттер

1 Алтын сандық. Республикалық балалар газеті.

2 Шаяхметов К.Ш. Математиикалық мозайка журналы.

3 Перельман Я.И. Қызықты алгебра.

4 Математика для школьников. Научно-практический журнал.

5 Математика Қазақстан мектебінде.

6 Бейсеков Ж. Олимпиадалық және қызықты математикалық есеп.

7 Математика. Республикалық ғылы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пікір қалдыру

Сіздің email-ңыз жарияланбайды. Қатарды міндетті түрде толтырыңыз *

*